II. Epistémologiedes modèles mathématiques
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1. Le problèmedu platonisme en mathématiques
La question du platonisme reste l'une des plus centrales de la philosophiedes mathématiques. On a analysé certaines des diverses positionsphilosophiques en présence: le platonisme pragmatique de W.V.O.Quine, le réalisme antinominaliste de J. Burgess, le platonismecognitif de P. Maddy, le platonisme structuraliste de M. Resnik, l'antiplatonismede Ph. Kitcher, celui constructiviste (dérivé d'H. Weyl)de S. Feferman, celui nominaliste (éliminativiste) d'H. Field. Ona également étudié le débat Connes-Changeux.On a enfin analysé en détail les thèses antiplatoniciennesde Wittgenstein.
L'analyse de ces positions en conflit montre que la plupart des difficultésproviennent de l'application non critique aux idéalités mathématiquesd'une conception ontologique substantialiste du concept de réalité.Or ce n'est pas la réalité ontologique des idéalitésmathématiques qui fait question mais leur objectivité. Pourclarifier la question du platonisme, il faut donc disposer au préalabled'une doctrine correcte de l'objectivité. L'hypothèse estqu'il faut utiliser la doctrine transcendantale.
Contrairement aux conceptions dominantes, il faut souligner que l'objectivitédes mathématiques n'est pas seulement de nature symbolique. Ellese fonde aussi dans l'intuition pure du continu. Or l'on sait que le problèmede la nature du continu reste encore largement ouvert. On a développéà ce sujet une double réflexion : d'une part sur la significationépistémologique de l'Analyse non standard, d'autre part surla possibilité de justifier un platonisme à la Gödel.
La théorie de la détermination projective (travaux deFriedman, Jackson, Kunen, Martin, Moschovakis, Solovay, Woodin, Dehornoy,etc.) a permis de démontrer quel est le "prix à payer"(en termes "d'ontologie" ensembliste) pour pouvoir disposer d'une"bonne" théorie du continu. Elle part du fait que la théoriedes ensembles classique (ZFC) laisse l'arithmétique des cardinauxtrès largement sous-déterminée et elle explique commenton peut la compléter par des axiomes non constructifs d'existencede grands cardinaux. Ces résultats plaident fortement en faveurdu platonisme de Gödel.
2. Analysede différentes doctrines de philosophie des mathématiques
On a travaillé aussi sur l'analyse des philosophies des mathématiques:H. Poincaré, J. Cavaillès, F. Gonseth et, surtout, A. Lautman.On a appliqué ces éléments de philosophie mathématiqueà l'analyse épistémologique de certains résultatsmathématiques particulièrement significatifs, en particulierà la preuve proposée par A. Wiles de la conjecture de Taniyama-Weil(et du théorème de Fermat) sur la base des travaux antérieursde G. Frey, J.P. Serre, B. Mazur et K. Ribet.
On a aussi analysé la philosophie mathématique de C.S.Peirce, en particulier son réalisme métaphysique et les rapportsqu'il entretient avec les conceptions de Riemann et de Cantor.
On a également travaillé sur la philosophie de la géométrie,de Gauss et des géométries non euclidiennes jusqu'àPoincaré et Cartan. On a élaboré une interprétationtranscendantale de son implication dans les théories physiques.
3. Epistémologiede la physique mathématique
En ce qui concerne la physique mathématique, on a montréà travers une analyse détaillée de la mécaniquehamiltonienne (et de la géométrie symplectique associée),de la relativité générale et de la théoriequantique des champs (théories de jauge non abéliennes etthéorie des supercordes) que le rôle constitutif des symétriesdans les théories physiques imposait une conception néo-transcendantaledu réalisme physique.
On a en particulier étudié, d'abord la façon dontle formalisme de l'application moment permet de dégager la significationprofonde du théorème de Noether, ensuite la façondont l'approche variationnelle de la relativité générale(proposée par Hilbert et poursuivie entre autres par la géométro-dynamiqued'A. Wheeler) permet d'en expliciter le contenu "synthétiquea priori", enfin la façon dont les invariances de jauge fonctionnentcomme des principes dynamiques permettant d'engendrer a priori des interactions.Ces exemples montrent que ce sont bien les constructions mathématiquesqui recèlent la signification philosophique des théoriesphysiques.
4. Philosophieet phénoménologie de la forme
Une philosophie des mathématiques et de l'objectivitéphysico-mathématique laisse largement ouverte la problématiquephénoménologique du monde du sens commun tel qu'il se manifesteà nous à travers l'appréhension perceptive et la descriptionlinguistique. Or ce monde commun est essentiellement celui qu'étudientles sciences cognitives. D'où l'intérêt d'une compréhensionphilosophique du lien entre ces deux dimensions de la réalité.
Comme René Thom l'a montré, le concept de forme joue unrôle médiateur essentiel entre l'objectivité physiqueet la manifestation phénoménologique. D'où la pertinencede reprendre philosophiquement les théories de la forme. On a poursuivide nombreuses recherches dans ce domaine.
